sober_space: (Default)
Примеры систем, которые я держал в голове, вводя эти определения:

1. Объекты - замкнутые шары в R3, элементы - вектора там же.

2. Объекты - максимальные (а не всякие) симплексы симплициального комплекса, элементы - вершины. Тогда при построении S' добавляются грани.

3. Объекты - дуги ненаправленного мультиграфа, элементы - вершины.

Пусть например система состоит из замкнутых шаров в R3. Т.е. объекты - шары, образы объектов по F - соотв. подмножества векторов. Возьмем такой замкнутый шар в и его границу, т.е. сферу. Как ввести систему объектов на сфере (т.е. из S сделать S')? Логично сказать что это пересечения сферы с любыми шарами. Тогда на сфере у объектов появятся свои границы, т.е. окружности. А у всей сферы границы не будет даже в этом случае.
sober_space: (Default)
Хромовская проверка орфографии не знает нашей буквы Ё! Это наезд ящетаю. ё.
sober_space: (Default)
Итак все определения еще раз. Не знаю как это назвать, ну пусть это будет система (просто потому что другое название в голову не приходит). Система S - это тройка (Ob(S), El(S), F), где Ob(S) и El(S) непересекающиеся множества, объектов и элементов соответственно, а F - функция из Ob(S) в 2El(S). Объект A назовем тривиальным если F(A) пусто. Я иногда буду говорить так, словно отождествляю A с F(A), но вообще говоря это неверно.

Граница между множествами элементов X и Y - это пересечение X с Y, если оно не пусто и не имеет нетривиальных подобъектов (т.е. ни один образ нетривиального объекта не является подмножеством этого пересечения). Теперь, как понять что граница границы пуста?

Попробуем так. Read more... )
sober_space: (Default)
Есть одна реальная опасность для будущего математической семантики как той самостоятельной науки, которую я вижу. С большой вероятностью может оказаться, что те паттерны, которые имеют реальное практическое значение, будут очень сложными, а соответствия между ними слабыми (в математическом смысле, т.е. weak или даже lax) и тоже окажутся слишком трудны для восприятия. И это тот момент, с которого я бы согласился на любые технологии улучшения человеческой способности размышлять и понимать, хотя вообще-то не слишком приветствую подобные вещи.

Нужно чтобы человек правильно воспринимал точные структурные определения интуитивным образом, без долгого предварительного академического насилия над мозгом. Подобно тому, как мы воспринимаем цвет или запах, понимаем, приятен ли нам человек или пейзаж, подобно тому, как люди искусства распознают сложные гештальты и способны их обсуждать и приходить к взаимопониманию. Ну и, конечно же, подобно интуиции классных математиков.
sober_space: (Default)
Целью математической семантики как самостоятельной науки, по моему мнению, является поиск, точная математическая формулировка и описание способов эксплуатации некоторых содержательных похожестей между различными естественными (точными, компьютерными и т.д) науками (отраслями наук). Т.е. моя цель остается прежней - найти способы взаимообогащения наук.

Метод я предполагаю следующий. Каждый случай похожести между отраслями именно математики назовем паттерном. Метод состоит из двух больших стадий: локализация и эксплуатация паттерна.
Read more... )
sober_space: (Default)
Сломать очень просто. Возьмем симплициальный комплекс и добавим в каждый симплекс еще по одной точке, которая будет принадлежать только этой сущности и никакой другой. Это уже не будет симплициальный комплекс, но все равно нечто похожее, подпадающее под наше определение.

Так вот эта дополнительная точка (вернее соотв. одноточечное множество) будет минимальной образующей, но не будет в интуитивном смысле точкой границы - она не будет принадлежать никакому другому симплексу.
sober_space: (Default)
Для категорщиков предыдущая конструкция может быть изложена примерно так (но не точное совпадение, только общий смысл). Есть рефлективная подкатегория некоторой исходной категории. Объекты вложенной категории - это "сущности". Левый сопряженный сопоставляет каждой образующей сущность. Т.е. образующая - это прообраз сущности под действием левого сопряженного функтора.

Тогда мы требуем, чтобы в категории образующих C(A) произвольно взятой сущности A был инициальный объект. Его и называем границей A.
sober_space: (Default)
Исходная конструкция такая. Есть "сущности" и есть "элементы". Каждой "сущности" сопоставлено (функцией F) некоторое подмножество множества "элементов". Ну типа Чу над булевым алфавитом, но я так не говорю, потому как не знаю, какие там будут морфизмы.

Попытаемся на трех примерах:
Read more... )
sober_space: (Default)
Сейчас основным затыком в моей программе является определение изоморфизмов, которые подошли бы для конструирования многообразий (гладких, дифференцируемых и т.п.). Т.е. как бы их определить, не прибегая вообще к числовым функциям на многообразиях. И чтобы не зависеть от того, конструкция непрерывная или же дискретная (например, чтобы можно было считать граф многообразием).

Т.е. нужные мне морфизмы должны по идее сохранять некоторую структуру границ множеств. В непрерывном случае это можно делать одним способом, в дискретном другим (причем в зависимости от того, что за исходная конструкция - разными способами).

Поэтому хочется найти математическую семантику границы, позволяющую прийти к естественному определению. Думаю, но пока не получается. Одни конструкции ломаются в топологических пространствах, другие в симплициальных комплексах, третьи еще где-то.

А сначала кажется, что вроде бы понятная вещь: гра-ни-ца.

Стиль

Jan. 30th, 2012 06:49 pm
sober_space: (Default)
А как бы вот здесь сваять простенький ЖЖ-шный классический стиль, как у меня там? А то какие-то жуткие буковы здесь.
sober_space: (Default)
Первый пост в dreamwidth и заодно проверка трансляции в ЖЖ
Page generated Oct. 31st, 2014 10:27 am
Powered by Dreamwidth Studios